Нахождение наиМЕНЬШЕГО общего кратного (НОК) и наиБОЛЬШЕГО общего делителя (НОД) натуральных чисел. Примерно 6-класс (11-12 лет)

Нахождение наиМЕНЬШЕГО общего кратного (НОК) и наиБОЛЬШЕГО общего делителя (НОД) натуральных чисел.

Определение НОК: Наименьшим общим кратным (НОК) натуральных чисел а и в называют наименьшее натуральное число c, которное кратно и a, и b. Т.е. c это наименьшее натуральное число, для которого и а, и б являются делителями.

Нахождение наиМЕНЬШЕГО общего кратного (НОК) и наиБОЛЬШЕГО общего делителя НОД натуральных чисел. 6-класс (11-12 лет)

• НОК - наименьшее общее кратное
• НОД - наибольший общий делитель

Памятка: Существуют два подхода к определению натуральных чисел

• числа, используемые при: перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий, …); - в школах, обычно так.
• обозначении количества предметов (нет покемонов - ноль, один покемон, два покемона, …).

Отрицательные и нецелые (рациональные, вещественные, …) числа натуральными не являются. Ноль некоторые авторы включают в множество натуральных чисел, другие — нет. Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом N

Памятка: Делителем натурального числа a называют число b, на которое a делится без остатка. Кратным натуральному числу b называют натуральное число a , которое делится на b без остатка. Если число b - делитель числа a , то a кратно числу b . Пример: 2 - делитель 4, а 4 кратно двум. 3 - делитель 12, а 12 кратно 3.
Памятка: Натуральные числа называют простыми, если они делятся без остатка только на себя и на 1. Взаимно простыми называются числа у которых только один общий делитель, равный 1.

Определение как найти НОК в общем случае: Чтобы найти НОК (Наименьшее общее кратное) нескольких натуральных чисел надо:
1) Разложить их на простые множители. (Для этого Вам может очень пригодиться Таблица простых чисел.)
2) Выписать множители, входящие в разложение одного из них.
3) Добавить к ним недостающие множители из разложений других чисел.
4) Перемножить множители, получившиеся в п.3).

Задача 1 (на НОК): Коля Пузатов раньше съедал булочек на 60 рублей в день. Когда у него совсем не оставалось денег, он шел к любимой мамуле и получал определенную сумму авансом на булочки. Потом Коля Пузатов подрос и стал съедать булочек на 75 рублей в день. Получив ту же сумму от мамы он обнаружил, что сдачи у него опять совсем не остается. Какую наименьшую сумму давала ему мама на булочки авансом?

Пример 1.1. решения задачи на нахождение НОК. Нахождение НОК подбором.
Решение: Эта сумма дожна делиться и на 60 рублей, и на 75 рублей без остатка.
1) Выпишем числа кратные 60: 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480
2) Выпишем числа кратные 75: 75, 150, 225, 300 Выбираем наименьшее общее кратное. Опа-на! Нашли, эта сумма = 300. Не забываем размерность и пишем ответ:
Ответ: Мама дает по 300 рублей.

Пример 1.2. решения задачи на нахождение НОК. Нахождение НОК в общем случае.
Решение: Эта сумма дожна делиться и на 60 рублей, и на 75 рублей без остатка.
1)Выполним разложение 75 и 60 на простые множители. (Для этого Вам может очень пригодиться Таблица простых чисел.)

60	2					75	5
30	2					15	5
15	3					3	3
5	5					1
1

60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Выпишем множители, входящие в разложение первого из этих чисел и добавим к ним недостающий множитель 5 из разложения второго числа. Получаем: 2*2*3*5*5=300. Нашли НОК, т.е. эта сумма = 300. Не забываем размерность и пишем ответ:
Ответ: Мама дает по 300 рублей.

• НОК - наименьшее общее кратное
• НОД - наибольший общий делитель

Определение НОД: Наибольшим общим делителем (НОД) натуральных чисел а и в называют наибольшее натуральное число c, на которое и a, и b делятся без остатка. Т.е. c это нибольшее натуральное число, для которого и а и б являются кратными.

Памятка: Существуют два подхода к определению натуральных чисел

• числа, используемые при: перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий, …); - в школах, обычно так.
• обозначении количества предметов (нет покемонов - ноль, один покемон, два покемона, …).

Отрицательные и нецелые (рациональные, вещественные, …) числа натуральными не являются. Ноль некоторые авторы включают в множество натуральных чисел, другие — нет. Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом N

Памятка: Делителем натурального числа a называют число b, на которое a делится без остатка. Кратным натуральному числу b называют натуральное число a , которое делится на b без остатка. Если число b - делитель числа a , то a кратно числу b . Пример: 2 - делитель 4, а 4 кратно двум. 3 - делитель 12, а 12 кратно 3.
Памятка: Натуральные числа называют простыми, если они делятся без остатка только на себя и на 1. Взаимно простыми называются числа у которых только один общий делитель, равный 1.

Определение как найти НОД в общем случае: Чтобы найти НОД (Наибольший общий делитель) нескольких натуральных чисел надо:
1) Разложить их на простые множители. (Для этого Вам может очень пригодиться Таблица простых чисел.)
2) Выписать множители, входящие в разложение одного из них.
3) Вычеркнуть те, которые не входят в разложение остальных чисел.
4) Перемножить множители, получившиеся в п.3).

Задача 2 на (НОК): К новому году Коля Пузатов купил в городе 48 хомяков и 36 кофейников. Фекла Дормидонтова, как самая честная девочка класса, получила задание разделить это имущество на наибольшее возможное число подарочных наборов для учителей. Какое число наборов получилось? Какой состав наборов?

Пример 2.1. решения задачи на нахождение НОД. Нахождение НОД подбором.
Решение: Каждое из чисел и 48, и 36 должно делиться на число подарков.
1) Выпишем делители 48: 48, 24, 16, 12, 8, 6, 3, 2, 1
2) Выпишем делители 36: 36, 18, 12, 9, 6, 3, 2, 1 Выбираем наибольший общий делитель. Оп-ля-ля! Нашли, это число наборов 12 штук.
3) Поделим 48 на 12 получим 4, поделим 36 на 12, получим 3. Не забываем размерность и пишем ответ:
Ответ: Получится 12 наборов по 4 хомяка и 3 кофейника в каждом наборе.

Пример 2.2. решения задачи на НОД. Нахождение НОД в общем случае.
Решение: Каждое из чисел и 48, и 36 должно делиться на число подарков.
1)Выполним разложение 48 и 36 на простые множители. (Для этого Вам может очень пригодиться Таблица простых чисел.)