Производная функции. Понятие производной. Геометрический смысл производной. Физический смысл производной. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Достаточное условие монотонности функции. Необходимое и достаточное условия экстремума.

Производная функции. Понятие производной, определение производной:

• Производной (первой производной)  f ' (x) функции f  (x) в точке x_o называется предел отношения
  • приращения функции Δ f (x) = f (x₀ + Δx) - f (x₀)
  • к приращению аргумента Δx при Δx→0,
• если этот предел существует:

• Второй производной  f '' (x) функции f  (x) в точке x_o называется производная от производной f ' (x) в точке x_o
• Дифференцирование - это операция нахождения производной f ' (x)

Производная функции. Геометрический смысл производной:

• Производная функции f  (x) в точке x_o равна угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной прямой  к графику функции y = f  (x)  в точке M₀(x₀,y₀), то есть:
  • f ' (x₀) = k, где k = tg α
• Уравнение касательной к кривой y = f (x) в точке x₀ имеет вид:
  • y = f ' (x)(x-x₀) + f(x₀)

Производная функции. Физический смысл производной:

• Если точка движется вдоль оси x и ее координата изменяется по закону x (t), то мгновенная скорость точки:

• а укорение (мгновенное ускорение):

Производная функции. Правила дифференцирования:

Производная функции. Производная сложной функции:

• Если у функции y= f (g (x))  существуют производные f'_g и g'_x, то :
  • 
• где индексы g и x указывают, по какому аргументу вычисляются производные функции.

Производная функции. Достаточное условие монотонности функции:

• Если для функции f (x) в каждой точке  интервала (a;b)
  • f ' (x) > 0;
• то функция f (x) возрастает на этом интервале

• Если для функции f (x) в каждой точке  интервала (a;b)
  • f ' (x) < 0;
• то функция f (x) убывает на этом интервале

Производная функции. Необходимое условие экстремума:

• Если  x₀ - точка экстремума некоторой функции f (x), то эта точка является критической точкой данной функции, т.е. в данной точке производная либо  равна нулю, любо не существет.

Производная функции. Достаточное условие экстремума:

• Если функция y = f (x)  непрерывна в точке x₀  и производная f ' (x) меняет знак в этой точке, то x₀ - точка экстремума функции y = f (x)
• ! В самой точке  x₀  производной у функции  y = f (x) может не существовать.

• Если f ' (x) > 0 при x < x₀,
• f ' (x) < 0 при x > x₀,
• то x₀ - точка максимума

• Если f ' (x) < 0 при x < x₀,
• f ' (x) > 0 при x > x₀,
• то x₀ - точка минимума

Производные элементарных функций:

Справочно: Таблица производных. Табличные производные. Производная произведения. Производная частного. Производная сложной функции.