Примеры решений дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка.

Примеры решений дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка.

1.Пусть уравнение имеет вид F(x,y^(k),..,y⁽ⁿ⁾)=0, т.е. в уравнение не входит искомая функция. Тогда за новую неизвестную функцию берем низшую из производных, т.е. y^(k)=z(x)

Пример 1:

x²y''=y'²

Обозначим

y'(x)=z(x), тогда x²z'=z² , подставляем в исходное уравнение и переносим в левую часть все, что с "z", а в правую все с "x" (делим переменные).

, интегрируем, получаем

  , или

 , приводим к общему знаменателю

;отсюда выражаем "z" 

. Теперь возвращаемся к исходным обозначениям

; т.к. y'=dy/dx, то поделив обе части уравнения на dx  получим

 . Далее путем интегрирования ищем значение "у"

При делении потеряли решения z=0, y'=0, y=c, z=x, y'=x, y=x²/2+c

2) Путь в уравнение не входит x, т.е. уравнение имеет вид F(y,y',y'',...,y⁽ⁿ⁾)=0.

Тогда порядок уравнения можно понизить, взяв за новую независимую переменную у, а за неизвестную функцию у'=p(y)

Пример 2.

y''=2yy'

Полагаем y'=P(y), тогда
, следовательно 

P'P=2yP

P=0; P'=2y

y'=0; dp=2ydy

y=c; p=y²+C₁ ; y'=y²+C₁

a) при C₁>0, т.е. C₁=С²

или y=Ctg(Cx)+C₃

б) при C₁<0, т.е. C₁ =- C²

в) при C₁=0

y'=y², dy/y²=dx, -1/y=x+c

y=-1/(x+c)

3. Если уравнение однородно относительно "у" и его производных, т.е. не меняется от замены y, y', y'',...на ky, ky', ky'',... , то порядок можно понизить заменой: y'=yz, где z(x)- новая неизвестная функция.

Пример 3.

y(xy''+y')=xy'²(1-x)

Если подставить вместо y=ky, y'=ky', y''=ky'', то получим новое уравнение k²y(xy''+y') =k²xy'² (1-x), которое отличается от исходного на множитель k², который можно сократить.

Итак, делаем замену y'=yz и приводим исходное уравнение к виду y ²xz'+z²y²x+y²z =xy²z²(1-x)

или

y²x(z'+z+z²x²)=0

Откуда получаем решение у=0 и уравнение Бернулли xz'+z=-x²z²

Делим обе части на z² и делаем замену 1/z=u, тогда уравнение приводится к линейному уравнению xu'-u=x².

Заметим, что при делении на z² потеряли решение z≡0, т.е. y'=0, т.е. у=с

Решая линейное уравнение получим u=x²+Cx

Тогда

Имеем два случая: При С=0, y=C₁e^-1/x

При C≠ 0

4) Если уравнение F(x,y,y',...,yⁿ) =0 не отличается от уравнения F(kx, k^my,k^m-1y',k^m-ny⁽ⁿ⁾ )=0 при некотором "m" (уравнение называется обобщенно однородным, то исходное уравнение сводится к уравнению, не содержащему "х" при помощи замены x=e^t, y=z(t)e^mt

Пример 4:

.

Заменим x→ kx, y→ k^my, y'→ k^m-1y', y''→ k^m-2y'' , получаем k^m+1(-x²y'+x³y''+xy)=k^2m(-x²y'²+2xy'y- y²)

Приравниваем степени k: m+1=2m⇒m-1 . Т.е. исходное уравнение при m=1 является обобщенно однородным.

Делаем замену x=e^t, y=z(t)e^t

т.к. y'_x=y'_t/x'_t , то y'_x=z'+z, y''_xx=(z''+z')e^-t

Подставляем y' и y'' в исходное уравнение, и после приведения подобных членов, получаем z''+z'²=0, т.е. уравнение, не содержащее искомую функцию.