Примеры решений линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами.

Примеры решений линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами.

Частное решение неоднородного (у_ч.н.) уравнения с постоянными коэффициентами.

a_oy⁽ⁿ⁾(x)+a₁y^(n-1)(x)+...+a_ny(x)=f(x).

Частное решение уравнения можно найти методом вариации постоянных, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения y_oo=C₁y₁(x)+C₂y₂(x)+...+C_ny_n(x).

Считаем C₁,C₂,...,C_nзависящими от х, т.е.

y=C₁(х)y₁(x)+C₂(х)y₂(x)+...+C_n(х)y_n(x).

C₁(х),C₂(х),...,C_n(х) находятся из системы:

Если правая часть уравнения имеет вид f(x)=e^αx[P(x)cosβx+Q(x)sinβx]), где P(x), Q(x) многочлены, то можно частное решение (y_ч.н.)искать в виде у_ч.н.=x^se^αx[R(x)cosβx+ T(x)sinβx].

Здесь или s=0, если число α+βi не является корнем характеристического уравнения или s равно кратности корня характеристического уравнения. А R(x) и T(x) многочлены степени, равной наибольшей из степеней многочленов R и Q. Чтобы найти коэффициенты многочленов R(x) и T(x), надо y_ч, y'_ч , ..., y⁽ⁿ⁾_ч подставитьв исходное уравнение и приравнять коэффициенты при подобных членах.

Если правая часть уравнения состоит из нескольких слагаемых вида a_oy⁽ⁿ⁾(x)+a₁y^(n-1)(x)+...+a_ny(x)=f(x), т.е. f(x)=f₁(x)+f₂(x)+...+f_k(x), то частное решение уравнения с правой частью f(x) равно сумме частных решений уравнений с правыми частями f₁(x),f₂(x),...,f_k(x).

Общее решение этого уравнения (y_о.н.) равно сумме частного решения (у_ч.н.) и общего решения соответствующего однородного уравнения (y_о.о.)

y_о.н.=у_ч.н.+y_о.о.

Пример 1:

y''-3y'+2y=e^3x

λ²-3λ+2=0,

λ₁=1,λ₂=2

y=С₁e^x+С₂e^2x.

y_ч=С₁(x)e^x+С₂(x)e^2x

Из системы получаем

С'₁(x)=-e^2x

С'₂(x)=e^x

Для частного решения можно взять

А общее решение

Пример 2:

y^''+2y'-3y=x²e^x

Правая часть имеет вид

Характеристическое уравнение

λ²+2λ-3=0 имеет корни

λ₁=1

λ_2,3=-3

И следовательно, α+βi=1 является корнем характеристического уравнения кратностью 1. Поэтому частное решение ищем в виде

y=C₁+(C₂+C₃x)cos2x+(C₄+C₅x)sin2x

Подставляя y_ч, y'_ч, y''_ч, в исходное уравнение имеем

, сокращаем е^х . Приравниваем коэффициенты при подобных членах

Общее решение соответствующего однородного уравнения (y_оо) имеет вид

y_оо=С₁е^х+С₂е^-3х

Общее решение неоднородного уравнения (y_он)

Пример 3:

y''+y=xsinx

Представим правую часть уравнения в виде

f(x)=e^ox[0*cosx+xsinx]

α=0, β=1, α+βi=i, P(x)=0, Q(x)=1

λ²+1=0, λ_1,2=±i

α+βi является корнем характеристического уравнения кратности 1

Подставляем в исходное уравнение у и приравниваем коэффициенты при подобных членах:

(4Cx+2a+2d)cosx+(-4ax+2c-2b)sinx=xsinx