Матрицы. Действия над матрицами. Свойства операций над матрицами. Виды матриц.

Матрицы, виды матриц, типы матриц. Действия и операции над матрицами. Свойства операций над матрицами.

• Матрицы (и соответственно математический раздел - матричная алгебра) имеют важное значение в прикладной математике, так как позволяют записать в достаточно простой форме значительную часть математических моделей объектов и процессов. Термин "матрица" появился в 1850 году. Впервые упоминались матрицы еще в древнем Китае, позднее у арабских математиков.

• Матрицей A=A_mn порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m - строк и n - столбцов.
  • 
  • Элементы матрицы a_ij, у которых i=j, называются диагональными и образуют главную диагональ.
  • Для квадратной матрицы (m=n) главную диагональ образуют элементы a₁₁, a₂₂,..., a_nn .

• Виды матриц

• 1. Прямоугольные: m и n - произвольные положительные целые числа
• 2. Квадратные: m=n
• 3. Матрица строка: m=1. Например, (1 3 5 7 ) - во многих практических задачах такая матрица называется вектором
• 4. Матрица столбец: n=1. Например
  • 
• 5. Диагональная матрица: m=n и a_ij=0, если i≠j. Например
  • 
• 6. Единичная матрица: m=n и
  • 
• 7. Нулевая матрица: a_ij=0, i=1,2,...,m / j=1,2,...,n
  • 
• 8. Треугольная матрица: все элементы ниже главной диагонали равны 0.
  • Пример.
  • 
• 9. Симметрическая матрица: m=n и a_ij=a_ji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят равные элементы), а следовательно A'=A
  • Например,
  • 
• 10. Кососимметрическая матрица: m=n и a_ij=-a_ji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят противоположные элементы). Следовательно, на главной диагонали стоят нули (т.к. при i=j имеем a_ii=-a_ii)
  • Пример.
  • 
  • Ясно, A'=-A
• 11. Эрмитова матрица: m=n и a_ii=-ã_ii (ã_ji - комплексно - сопряженное к a_ji, т.е. если A=3+2i, то комплексно - сопряженное Ã=3-2i)
  • Пример
  • 

• Равенство матриц.

  • A=B, если порядки матриц A и B одинаковы и a_ij=b_ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

• Действия над матрицами.

  • 1. Сложение матриц - поэлементная операция
  • 
  • 2. Вычитание матриц - поэлементная операция
  • 
  • 3. Произведение матрицы на число - поэлементная операция
  • 
• 4. Умножение A*B матриц по правилу строка на столбец (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B)
  • A_mk*B_kn=C_mn причем каждый элемент с_ij матрицы C_mn равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B , т.е.
  • 
• Покажем операцию умножения матриц на примере
  • 
• 5. Возведение в степень
  • 
  • m>1 целое положительное число. А - квадратная матрица (m=n) т.е. актуально только для квадратных матриц
• 6. Транспонирование матрицы А. Транспонированную матрицу обозначают A^T или A'
  • 
  • Строки и столбцы поменялись местами

• Пример
  • 

• Свойства операций над матрицами

  • A+B=B+A
  • (A+B)+C=A+(B+C)
  • λ(A+B)=λA+λB
  • A(B+C)=AB+AC
  • (A+B)C=AC+BC
  • λ(AB)=(λA)B=A(λB)
  • A(BC)=(AB)C
  • (A')'=A
  • (λA)'=λ(A)'
  • (A+B)'=A'+B'
  • (AB)'=B'A'