Функция распределения случайной величины. Функция распределения вероятностей и ее свойства. Она-же интегральная функция распределения. Подробно.

Функция распределения случайной величины. Функция распределения вероятностей и ее свойства. Она-же интегральная функция распределения. Подробно.

1. F(-∞)=lim_(x→-∞)F(x)=0. Действительно, по определению, F(-∞)=P{X < -∞}. Событие (X < -∞) является невозможным событием: F(-∞)=P{X < - ∞}=p{V}=0.
2. F(∞)=lim_(x→∞)F(x)=1, так как по определению, F(∞)=P{X < ∞}. Событие Х < ∞ является достоверным событием. Следовательно, F(∞)=P{X < ∞}=p{U}=1.
3. Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала [Α Β] равна приращению функции распределения вероятностей на этом интервале. P{Α ≤X<Β}=F(Β)-F(Α).
4. F(x₂)≥ F(x₁ ), если x_2, > x₁, т.е. функция распределения вероятностей является неубывающей функцией.
5. Функция распределения вероятностей непрерывна слева. FΨ(x_o-0)=limFΨ(x)=FΨ(x_o) при х→ x_o

Различия между функциями распределения вероятностей дискретной и непрерывной случайных величин хорошо иллюстрировать графиками. Пусть, например, дискретная случайная величина имеет n возможных значений, вероятности которых равны P{X=x_k}=p_k, k=1,2,..n. Если x ≤ x₁, то F(Х)=0, так как левее х нет возможных значений случайной величины. Если x₁< x ≤ x₂ , то левее х находится всего одно возможное значение, а именно, значение х₁.

Значит, F(x)=P{X=x₁}=p₁.При x₂< x ≤ x₃ слева от х находится уже два возможных значения, поэтому F(x)=P{X=x₁}+P{X=x₂}=p₁+p₂. Рассуждая аналогично,приходим к выводу, что если х_k< x≤ x_k+1, то F(x)=1, так как функция будет равна сумме вероятностей всех возможных значений, которая по условию нормировки равна единице. Таким образом, график функции распределения дискретной случайной величины является ступенчатым. Возможные значения непрерывной величины располагаются плотно на интервале задания этой величины, что обеспечивает плавное возрастания функции распределения F(x), т.е. ее непрерывность.

• Рассмотрим вероятность попадания случайной величины в интервал [x, x+Δx], Δx>0: P{x≤X< x+Δx}=F(x+ Δx)-F(x). Перейдем к пределу при Δx→0:
  • lim_(Δx→0)P{x≤ X < x+Δx}=lim_(Δx→0)F(x+Δx)-F(x). Предел равен вероятности того, что случайная величина примет значение, равное х. Если функция F(x) непрерывна в точке х, то lim_(Δx→0)F(x+Δx)=F(x), т.е. P{X=x}=0.
  • Если F(x) имеет разрыв в точке х, то вероятность P{X=x} будет равна скачку функции в этой точке. Таким образом, вероятность появления любого возможного значения для непрерывной величины равна нулю. Выражение P{X=x}=0 следует понимать как предел вероятности попадания случайной величины в бесконечно малую окрестность точки х при P{Α< X≤ Β},P{Α ≤ X< Β},P{Α< X< Β},P{Α ≤ X≤ Β} равны, если Х - непрерывная случайная величина.
  • Для дискретных величин эти вероятности неодинаковы в том случае, когда границы интервала Α и(или) Β совпадают с возможными значениями случайной величин. Для дискретной случайной величины необходимо строго учитывать тип неравенства в формуле P{Α ≤X<Β}=F(Β)-F(Α).