Один из важнейших инженерных приемов. Отношение объема к площади поверхности любого физического тела = Отношение массы (веса) или запасенного тепла к поверхности опоры, излучения или теплообмена = Отношение инерции тела к площади поперечного сечения...

Один из важнейших инженерных приемов. Отношение объема к площади поверхности любого физического тела = Отношение массы (веса) или запасенного тепла к поверхности опоры, излучения или теплообмена = Отношение инерции тела к площади поперечного сечения или площади сопротивления и т.д.

Суть вопроса в том, что V (r³), а S(r²) (объем пропорционален кубу линейного размера, а площадь поверхности - квадрату линейного размера, т.е. объем растет быстрее чем площадь поверхности с ростом линейного размера подобных тел)

Представьте себе куб с длиной грани (ребра) 1 метр (1 сантиметр, 1 фут, 1 дюйм или 1 "чего Вам угодно"), далее единицей пусть будет  метр - для простоты. Объем этого куба равен 1 м³. Каждая сторона имеет площадь1 м², а вся площадь поверхности этого кубика равна 6 м² - сторон-то шесть. Отношение объема к площади поверхности равно 1:6 = 1/6 (размерность в отношении,естественно, исчезает).

• Тепрь представьте себе куб со стороной 3 м.Объем этого куба равен 27 м³ (3х3х3). Каждая сторона имеет площадь 9 м² , а вся площадь поверхности этого кубика равна 54 м². Отношение объема к площади поверхности равно 27:54 = 1/2 = 3/6.
• То есть, при росте линейного размера в 3 раза площадь поверхности выросла в 9 раз, но объем вырос в 27 раз. Отношение объема к площади поверхности выросло в 3 раза.
• В таблице ниже приведены расчеты для кубов при пошаговом удвоении линейного размера. :

Таблица. Сравнение динамик площади поверхности и объема физического тела с ростом линейного размера.

При росте линейного размера объем возрастает намного быстрее, чем площадь поверхности тела, поскольку объем пропорционален кубу линейного размера, а площадь - квадрату. Этот факт применим не только к телам кубической формы, но и к любым другим телам, естественно при сохранении формы ( или пропорций, если Вам так больше нравится).

Рисунок. Сравнение динамик площади поверхности и объема физического тела с ростом линейного размера. Минимальным отношением объема к площади поверхности, очевидно, обладает сфера :) 

Некоторые житейские примеры важности рассматриваемого факта.

• 1) Теплоотдача пропорциональна площади поверхности. Теплоемкость - объему тела. Из этого факта напрямую следует, что более крупное здание (той же формы) будет дольше отдавать накопленное за световой день тепло (или нагреваться днем) и потребует меньше энергии на единицу полезной площади - ! полезная площадь прямо пропорциональна внутреннему объему ! - на отопление (кондиционирование).
• 2) Масса (вес) пропорциональна объему опоры. Нагрузка на грунт - площади поверхности. Из этого факта напрямую следует, что для опоры любой формы существует размер, начиная с которого (при сохранении формы) она уйдет в любой грунт.
• 3) Ребенок имеет совершенно другое соотношение площадь/объем, чем взрослый человек. Поэтому риски переохлаждения или получения теплового удара для ребенка несоизмеримо выше (что, конечно, отчасти компенсируется другой скоростью обменных процессов у детей).