Предел функции. Основные понятия: ограниченность функции, замечательные пределы, односторонние и бесконечные пределы, необходимые и достаточные условия существования предела функции в точке.

Предел функции. Основные понятия: ограниченность функции, замечательные пределы, односторонние и бесконечные пределы, необходимые и достаточные условия существования предела функции в точке.

1.Ограниченность функции.

Функция f(x) называется ограниченной на данном промежутке (a,b), если существуют некоторые числа m и M такие, что

m ≤ f(x) ≤ M

при хє(a,b).

• Число m_o= inf {f(x)} [x є (a,b)] = max m называется нижней гранью функции ,
• а число M_o= sup {f(x)} [x є (a,b)]=min M называется верхней гранью функции на данном промежутке (a,b).
• Разность M_o- m_o называется колебанием функции на промежутке (a,b).

2. Предел функции в точке.

Пусть функция f(x)определена на множестве X = {x}, имеющем точку сгущения (предельную точку) a. Запись

обозначает, что для любого числа ε > 0 cуществует число δ = δ (ε) > 0 такое, что для всех x, для которых f(x) имеет смысл и которые удовлетворяют условию 0 < |x - a| < δ, справедливо неравенство:

|f(x )- A |< ε.

Имеют место два замечательных предела:

1)

2)

Критерий Коши:

Предел функции f(x) в точке a существует тогда и только тогда, если для каждого ε > 0 найдется такое δ = δ (ε) >0, что

|f(x' ) - f(x" )| < ε,

как только 0 < |x' - a| < δ и 0 < |x' - a| < δ, где x' и x" - любые точки из области определения функции f(x).

3. Односторонние пределы.

Число A' называется пределом слева функции f(x) в точке a:

если

|A' - f(x)| < ε при 0 < a - x < δ (ε).

Аналогично, число A" называется пределом справа функции f(x) в точке a:

|A" - f(x) |< ε при 0 < x - a < δ (ε).

f (a - 0) = f(a + 0).

4. Бесконечный предел.

Условная запись

обозначает, что для любого E > 0 справедливо неравенство:

|f(x)| > E, если только 0 < |x - a| < δ (E) .