Площади неправильных фигур.

Формула трапеций.

Чтобы определить площадь PQRS на рис. выше , необходимо:

• Разделить PS на любое число равных интервалов шириной d каждый (чем больше количество интервалов, тем выше точность).
• Аккуратно измерить ординаты у₁, у₂, у₃ и так далее.
• Площадь S_PQRS = d[(у₁+у₇)/2 +у₂+у₃+ у₄+у₅+у₆]
• В общем, согласно формуле трапеций: Площадь = (ширина интервала)[1/2(первая + последняя ордината)+(сумма остальных ординат)].

Правило средних ординат.

Чтобы определить площадь ABCD на рис. выше, необходимо:

•  Разделить основание AD на любое количество равных интервалов шириной d каждый (чем больше количество интервалов, тем выше точность).
• Восстановить перпендикуляр из середины каждого интервала (на рис. выше оказаны штриховыми линиями).
• Точно измерить ординаты у₁, у₂, у₃ и так далее.
• Площадь S_ABCD = d(у₁ +у₂+у₃+ у₄+у₅+у₆)
• В общем виде, правило средних ординат гласит: Площадь = (ширина интервала)*(сумма средних ординат).

Формула Симпсона

Чтобы определить площадь PQRS на рис.выше, необходимо:

•  Разделить основание PS на четное количество равных интервалов шириной d каждый (чем больше количество интервалов, тем выше точность).
•  Точно измерить ординаты у₁, у₂, у₃ и так далее.
•  Площадь S_PQRS = (d/3)*[(у₁+у₇) +4(у₂+у₄+ у₆)+2(у₃+у₅)]
• В общем виде, формула Симпсона: Площадь = 1/3(ширина интервала)[(первая + последняя ордината)+4(сумма четных ординат)+2(сумма нечетных ординат)].

Пример. Определение площади под кривой с помощью формулы трапеций, правила средних ординат, формулы Симпсона.

Машина стартует из состояния покоя, и ее скорость измеряется каждую секунду в течение 6 секунд:

Хотя мы понимаем что увеличение числа разбиений увеличивает точность, но для простоты решения возьмем количество разбиений, равное 7.

Определить расстояние, пройденное за 6 секунд (т.е. площадь под графиком):

а) по формуле трапеций, б) по правилу средних ординат, в)по формуле Симпсона.

а) Формула трапеций.

• Время на графике делится на 6 интервалов шириной 1 с и измеряются ординаты. Итак, площадь S определяется формулой
• S= 1[(0+25)/2 +3+6+ 9,15+13,5+18,5]=62,65 м

б) Правило средних ординат.

• Время на графике делится на 6 интервалов шириной 1 с. На рис. пунктирной линией показаны средние ординаты. Измерена каждая средняя ордината. Итак, площадь S определяется формулой
• S= 1(1,5 +4,5+7,75+11,75+16+21,5)=63 м

в) Формула Симпсона .

• Время на графике делится на 6 интервалов шириной 1 с и измеряются ординаты. Итак, площадь S определяется формулой:
• S= (1/3)*[(0+25) +4(3+9,15+ 18,5)+2(6+13,5)]= 61,2 м.
• Т.е. машина проехала в среднем 62,283 м.