Объемы и площади поверхностей усеченных пирамид и конусов.

Существует и другой метод определения объема и площади поверхности усеченного конуса:

• V=1/3 π h(R²+Rr+r²),
• площадь боковой поверхности конуса S=π l(R+r),
• общая площадь поверхности S_о=π l(R+r)+πr²+πR²

Абажур имеет форму усеченного конуса. Высота абажура равна 50 см, нижний и верхний диаметры - 40 и 20 см соответственно. Определить с точностью до 3х значащих цифр площадь материала, необходимого для изготовления абажура.

• Как было определено выше, площадь боковой поверхности усеченного конуса S=π l(R+r).
• Поскольку верхний и нижний диаметры усеченного конуса равны 40 и 20 см, то из рис. выше находим r=10 см, R=20 см и
• l=(50 ²+10²)^1/2=50,99 согласно теореме Пифагора,
• Следовательно, площадь боковой поверхности конуса равна S=π 50,99(20+10)=4803,258 см² , т.е. площадь необходимого для изготовления абажура материала равняется 4800 см² с точностью до 3х значащих цифр, хотя, конечно, сколько на самом деле уйдет материала зависит от кроя.

Пример 2. Определение объема цилидра, увенчанного усеченным конусом.

Башенный охладитель имеет форму цилиндра, увенчанного усеченным конусом, как показано на рис. ниже. Определить объем воздушного пространства в башне, если 40 % объема занято трубами и другими структурами.

• Объем цилиндрической части
• V=π R²h=π(27/2)²*14=8011,71 м³
• Объем усеченного конуса
• V=1/3 π h(R²+Rr+r²), где
• h=34-14=20 м, R=27/2=13,5 м и r=14/2=7 м.
• Т.к. R=27/2=13,5 м и r=14/2=7 м.
• Следовательно, объем усеченного конуса
• V=1/3 π 20(13,5²+13,5*7+7²)=6819,03 м³
• Общий объем башенного охладителя V _общ. =6819,03+8011,71=14830,74 м³.
• Если 40% объема занято, объем воздушного пространства V=0,6*14830,74=8898,44 м³