Однородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Теоретические сведения.
от
Однородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Теоретические сведения.
Рассматриваются системы дифференциальных уравнений вида
Здесь x1(t), x2(t), ... , xn(t) - искомые функции, заданные на определенном промежутке (a, b), а aij (i, j=1, 2, ...n) - вещественные числа. Введем следующие обозначения:
Используя операции над матрицами, исходную систему можно записать в следующем виде:
Прежде чем перейти непосредственно к решению таких систем, перечислим свойства решений этих систем.
Рассмотрим систему из n вектор-функций: Определение 1.
Система вектор-функций называется линейно зависимой на (a, b), если найдутся такие числа , не все равные нулю, что для любого t из промежутка (a, b)
Если же тождество
выполняется только при , то такая система вектор-функций называется линейно независимой на интервале (a, b).
Определение 2.
Любая линейно независимая на (a, b) система n решений нашей системы дифференциальных уравнений называется фундаментальной системой решений.
Теорема 1.
Фундаментальная система решений существует. Вектор-функция , где - фундаментальная система решений, C1, C2, ... , Cn - произвольные постоянные, является общим решением системы.
Определение 3.
Вектор называется собственным вектором матрицы А, если найдется такое число , что .
Тогда называется собственным значением матрицы А, соответствующим вектору X.
Для того, чтобы построить фундаментальную систему решений необходимо найти собственные значения матрицы А. Для их нахождения нужно решить так называемое характеристическое уравнение .
Данное уравнение является алгебраическим уравнением порядка n, следовательно, оно имеет n корней. Ход решение исходной системы зависит от структуры решения характеристического уравнения.
Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста.
Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.
Консультации и техническая поддержка сайта: Zavarka Team
Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.DPVA.xyz не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса.