Рассмотрим однородную систему дифференциальных уравнений третьего порядка
Здесь x(t), y(t), z(t) - искомые функции на промежутке (a, b), aij (i, j =1, 2, 3) - вещественные числа.
Запишем исходную систему в матричном виде ,
где
Решение исходной системы будем искать в виде ,
где , C1, C2, C3 - произвольные постоянные.
Чтобы найти фундаментальную систему решений, нужно решить так называемое характеристическое уравнение
Это уравнение является алгебраическим уравнением третьего порядка, следовательно оно имеет 3 корня. При этом возможны следующие случаи:
1. Корни (собственные значения) действительны и различны.
2. Среди корней (собственных значений) есть комплексно-сопряженные, пусть - действительный корень =
3. Корни (собственные значения) действительны. Один из корней кратный.
Чтобы разобраться, как действовать в каждом из этих случаев, нам понадобятся: Теорема 1.
Пусть - попарно различные собственные значения матрица А, а - соответствующие им собственные векторы. Тогда
образуют фундаментальную систему решений исходной системы.
Замечание.
Пусть - действительное собственное значение матрица А (действительный корень характеристического уравнения), - соответствующий ему собственный вектор. = - комплексные собственные значения матрицы А, - соответствующий - собственный вектор. Тогда
(Re - действительная часть, Im - мнимая)
образуют фундаментальную систему решений исходной системы. (Т.е. и = рассматриваются вместе)
Теорема 3.
Пусть - корень характеристического уравнения кратности 2. Тогда исходная система имеет 2 линейно независимых решения вида ,
где , - постоянные вектора. Если же кратности 3, то существует 3 линейно независимых решения вида .
Векторы находятся подствалением решений (*) и (**) в исходную систему.
Чтобы лучше понять метод нахождения решений вида (*) и (**), смотри разобранные типичные примеры ниже.
Теперь рассмотрим более подробно каждый из вышеописанных случаев.
1. Алгоритм решения однородных систем дифференциальных уравнений третьего порядка в случае различных действительных корней характеристического уравнения.
Дана система
1) Составляем характеристическое уравнение - действительные и различные собственные значения 9корни этого уравнения).
2)Строим , где - собственный вектор матрицы А, соответствующий , т.е. - любое решение системы
3)Строим , где - собственный вектор матрицы А, соответствующий , т.е. - любое решение системы
4)Строим , где - собственный вектор матрицы А, соответствующий , т.е. - любое решение системы
5)
составляют фундаментальную систему решений. Далее записываем общее решение исходной системы в виде ,
здесь C1, C2, C3 - произвольные постоянные, ,
или в координатном виде
Расмотрим несколько примеров: Пример 1.
1)Составляем и решаем характеристическое уравнение:
2) Находим
3)Находим
4)Вектор-функции
образуют фундаментальную систему. Общее решение имеет вид
или в координатной записи
Пример 2.
1)Составляем и решаем характеристическое уравнение:
2) Находим
3)Находим
4)Находим
5)Вектор-функции
образуют фундаментальную систему. Общее решение имеет вид
или в координатной записи
2. Алгоритм решения однородных систем дифференциальных уравнений третьего порядка в случае комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения.
1) Составляем и решаем характеристическое уравнение - действительный корень,
2)Строим , где
- собственный вектор матрицы А, соответствующий , т.е удовлетворяет системе
3) Строим
(т.е. и рассматриваем вместе), где
- собственный вектор матрицы А, соответствующий , т.е. удовлетворяет системе
Здесь Re - действительная часть
Im - мнимая часть
4) составляют фундаментальную систему решений. Далее записываем общее решение исходной системы: , где
С1, С2,С3 произвольные постоянные.
Пример 1.
1) Составляем и решаем характеристическое уравнение
2)Строим
, где удовлетворяет системе
, т.е.
3) Строим , где
- удовлетворяет системе
, т.е.
Первое уравнение сократим на 2. Затем ко второму уравнению прибавим первое, умноженное на 2i, а от третьего уравнения отнимем перове, умноженное на 2.
Далее
Следовательно,
4) - фундаментальная система решений. Запишем общее решение исходной системы:
Пример 2.
1) Составляем и решаем харктеристическое уравнение
2)Строим
(т.е. и рассматриваем вместе), где
-собственный вектор матрицы А, соответствующий , т.е. любое решение системы
Второе уравнение умножим на (1-i) и сократим на 2.
Следовательно,
3) - фундаментальная система решений.
Общее решение исходной системы
или
2. Алгоритм решения однородных систем дифференциальных уравнений третьего порядка в случае кратных корней характеристического уравнения.
Составляем и решаем характеристическое уравнение
Возможны два случая:
Рассмотрим случай а) 1) , где
- собственный вектор матрицы А, соответствующий , т.е удовлетворяет системе
2) Сошлемся на Теорему 3, из которой следует, что существуют два линейно независимых решения вида ,
где , - постоянные векторы. Их возьмем за .
3) - фундаментальная система решений. Далее записываем общее решение исходной системы:
Рассмотрим случай б):
1) Сошлемся на Теорему 3, из которой следует, что существует три линейно независимых решения вида ,
где , , - постоянные векторы. Их возьмем за .
2) - фундаментальная система решений. Далее записываем общее решение исходной системы.
Чтобы лучше понять как находить решения вида (*), рассмотрим несколько типичных примеров.
Пример 1.
Составляем и решаем характеристическое уравнение:
Имеем случай а)
1) Строим , где
- любое решение системы
, т.е.
Из второго уравнения вычитаем первое:
? третья строка подобна второй, ее вычеркиваем. Из первого уравнения вычтем второе:
2) = 1 (кратность 2)
Этому корню по Т.3 должно соответствовать два линейно независимых решения вида .
Попробуем найти все линейно незваисимые решения, у которых , т.е. решения вида .
Такой вектор будет решением тогда и только тогда, когда - собственный вектор, соответствующий =1, т.е. , или , вторая и третья строки подобны первой, выкидываем их.
Система свелась к одному уравнению. Следовательно, имеется два свободных неизвестных, например, и . Дадим им сначала значения 1, 0; потом значения 0, 1. Получим такие решения: .
Следовательно, .
3) - фундаментальная система решений. Осталось записать общее решение исходной системы: .
Пример 2.
Составляем и решаем характеристическое уравнение:
Имеем случай а).
1) Строим ,
где
, т.е.
За возьмем .Тогда
2) =-1 (кратности 2).
Этому корню по Т.3 соответствуют два линейно независимых решения вида .
Попробуем найти линейно независимые решения, у которых , т.е. решения вида
Но тогда будет собственным вектором, соответствующим =-1, т.е. , т.е.
Третья строка аналогична второй, отбрасываем ее.
Пусть C3=1, тогда
=
Итак, корню =-1 соответствует (в отличие от пример 1) один линейно независимый вектор . Любой другой собственный вектор имеет вид . Таким образом существует только одно решение вида . Следовательно, .
Следующий вектор фундаментальной системы решений будем искать в виде
Чтобы понять, как искать и в этом случае, воспользуемся матричной записью системы:
Подставим X3 в эту систему:
Сократим на e-t и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях t. Получаем систему
Из первого уравнения и условия следует, что - собственный вектор, отвечающий собственнуму значению , т.е.
[
нашли, когда искали
Х2]
Второе уравнение последней системы запишем так:
Этому матричному уравнению соответствует система линейных уравнений:
Вычеркнем третью строку (она подобна второй). Система совместна (имеет решение) при любом с. Пусть с=1.
Выпишем какое-нибудь частное решение последней системы.
a3=0, a2=-1, a1=1 т.е.
Тогда
3) - фундаментальная система решений. Выпишем общее решение исходной системы:
или
Дополнительная информация от Инженерного cправочника DPVA, а именно - другие подразделы данного раздела:
Вы сейчас здесь: Алгоритм решения линейных систем дифференциальных уравнений третьего порядка.
Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста.
Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.
Консультации и техническая поддержка сайта: Zavarka Team
Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.DPVA.xyz не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса.