Примеры решений линейных однородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с переменными коэффициентами.

Примеры решений линейных однородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с переменными коэффициентами.

Пример 1.

Найти общее решение уравнения

(2x+1)y''+(4x-2)y'-8y=0, x≠-1/2

Попробуем найти частное решение в виде y₁(x)=e^ax.

Найдем "а". Для этого y₁(x)=e^ax подставим в уравнение.

Итак, y₁(x)=e^-2x является частным решением.

Для того чтобы найти лбщее решение, воспользуемся формулой Острогадского - Лиувилля

Здесь p(x)=(4x-2)/(2x+1)

Вычислим интегал

Итак,

или

e^-2xy'+2^-2xy=Ce^-2x(2x+1)²

Делим на y₁²(x),

При вычислении интеграла 2 раза воспользовались формулой интегрирования по частям

y(x)=(C/2)(4x²+1)+C₁e^-2x - общее решение исходного уравнения.

Пример 2.

Найти общее решение уравнения

(1-x²)y''-2xy'+2y=0 на (1;1).

Попробуем найти частное решение y₁(x) в виде алгебраического многочлена. Для этого подставим y₁(x)=xⁿ+a₁x^n-1+...+a_n

Выписываем только члены с самой старшей степенью "х". Приравнивая к нулю коэффициент при старшей степени "х", определим степень многочлен

-n(n-1)+2n+2=0,

n²-3n+2=0 n=1; n=2

частным решением будет и y₁=x+a и y₁=x²+ax+b

Возьмем за y₁(x)=x+a. Чтобы найти "a", опять подставим y₁=x+a в исходное уравнение

-2x+2x+2a=0

a=0

Итак, y₁=x является частным решением.

Для нахождения общего решения воспользуемся формулой Острогадского - Лиувилля

(Интеграл разбили на два

и во втором интеграле воспользовались тем, что

Пример 3

Найти общее решение уравнения

x²y''-xy'-3y=0 x>0 если известно что

y₁(x)=1/x - частное решение

Проверим, что y₁(x)=1/x - частное решение. Для этого подставим y₁(x)=1/x в уравнение y₁'(x)=-1/x² , y''=2/x³