Примеры некоторых распространенных разложений периодических и непереодических функций в ряд Фурье на интервале 2π.

Примеры некоторых распространенных разложений периодических и непереодических функций в ряд Фурье на интервале 2π.

1) Функция

(Функция является периодической за пределами заданного диапазона с интервалом 2π)

Этот прямоугольный сигнал показан на рис. ниже. Поскольку f(x) для двух половин диапазона задается двумя различными выражениями, интегрирование сигнала проводим для двух интервалов - сначала от -π до 0, затем от 0 до π.

Отсюда коэффициенты Фурье:

(В действительности a_o - это среднее значение функции за полный период 2π, и его равенство 0 очевидно из рис. )

Следовательно, a₁, a₂, a₃, ... все равны 0 (поскольку sin0=sin(-nπ)=sinnπ=0), и поэтому в ряду Фурье нет членов с косинусами.

Если n - нечетное,

b_n=4k/nπ,

Следовательно, b₁=4k/π, b₃=4k/3π, b₅=4k/5π и так далее,

Если n четное b_n=0.

Следовательно, согласно основной формуле разложения в ряд Фурье для функции на рис. выше есть

т.е.

Ответ1:

f(x)=(4k/π)sinx+(4k/3π)sin3x+(4k/5π)sin5x+...

Ответ2:

f(x)=4k/π(sinx+1/3πsin3x+1/5sin5x+...)

Если в рассмотренном выше ряду Фурье k=π, то f(x)=4[(sinx+(1/3)sin3x+(1/5π)sin5x+...]. Выражение 4sinx называется первой частичной суммой ряда Фурье функции f(x), (4sinx+(4/3)sin3x) - второй частичной суммной ряда Фурье, (4sinx+(4/3)sin3x+(4/5π)sin5x) - третьей частичной суммой ряда Фурье и так далее.

Пусть Р₁=4sinx, Р₂=(4sinx+(4/3)sin3x) , Р₃=(4sinx+(4/3)sin3x+(4/5π)sin5x)

Графики Р₁, Р₂, Р₃ построены по таблицам значений, а их суммы показаны на трех рис. ниже, откуда видно, что ряд сходится, т.е.при увеличении количества рассматриваемых частичных сумм он стремиться к конечному пределу, и в пределе получается сумма f(x)= π. Даже при учете только трех частичных сумм форма графика приближается к прямоугольной, которую представляет ряд Фурье.

1) Первая частичная сумма ряда Фурье функции f(x)	2) Вторая частичная сумма ряда Фурье функции f(x)
3) Третья частичная сумма ряда Фурье функции f(x)

2) Функция f(x)=2x на диапазоне от - π до π Для данного уравнения: Ответ: 2х= 4[(sinx-(1/2)sin2x+(1/3)sin3x-1/4sin4x+1/5sin5x-1/6sin6x+...)	3) Функция Для данного уравнения : Ответ: f(x)=8/π(cosx-1/3cos3x+1/5cos5x-1/7cos7x+...)
4) Функция Коэффициенты: Ответ:	5) Функция f(x)=x2 Коэффициенты: Ответ:
6) Функция Коэффициенты: Ответ:	7) Функция Коэффициенты: Ответ: