Практические задачи с использованием тригонометрии.

Практические задачи с использованием тригонометрии.

Существует ряд практических ситуаций, в которых необходимо использовать тригонометрию для определения неизвестных сторон и углов треугольников.

• Пример 1
  • Здание шириной 10 м имеет двускатную крышу с наклоном 35^o с одной стороны и 41^o - с другой. Найти длину скатов крыши с точностью до сантиметра.
• Пример 2
  • На рис. показаны два вектора напряжения, V₁=50В и V₂=90В . Определить величину результирующего вектора. (т.е. длину СА) и угол между результирующим вектором и V₁
• Пример 3
  • На рис. ниже показан кривошипно-шатунный механизм бензинового двигателя. Плечо ОА имеет длину 11 см и вращается по часовой стрелке вокруг О. Шатун АВ имеет длину 32 см, и конец В движется горизонтально. Определить угол между шатуном АВ и горизонталью и длину ОВ в положении, показанном на рис.
• Пример 4
  • Поле имеет форму четырехугольника ABCD, показанного на рис. ниже. Определить площадь поля.

Пример 1 Здание шириной 10 м имеет двускатную крышу с наклоном 35^o с одной стороны и 41^o - с другой. Найти длину скатов крыши с точностью до сантиметра.

Решение:

Угол конька крыши В=180^o - 35^o- 41^o=104^o

По теореме синусов

,

Откуда

.

Также по теореме синусов:

Откуда

.

(используется таблица синусов)

Следовательно, длины скатов крыши равны 6 м и 7 м с точностью до см.

Примечание: сторона а - сторона против угла А, сторона с - сторона против угла С.

Пример 2 На рис. показаны два вектора напряжения, V₁=50В и V₂=90В . Определить величину результирующего вектора. (т.е. длину СА) и угол между результирующим вектором и V₁.

Решение:

<CAB=180^o - 45^o=135^o.

Согласно теореме косинусов:

СА² = V₁²+V₂² - 2V₁V₂ cosCBA=

=50² + 90² - 2*50*90cos135^o=16963.(по таблице косинусов)

Результирующий вектор CA=(16963)^1/2 =130,2B.

Cогласно теореме синусов,

,

Откуда

,

Следовательно угол АСВ приблизительно равен 29^о. (по таблице синусов)

Итак, результирующий вектор напряжения равен 130,2В и составляет угол в 29^о с V₁

Пример 3 На рис. ниже показан кривошипно-шатунный механизм бензинового двигателя. Плечо ОА имеет длину 11 см и вращается по часовой стрелке вокруг О. Шатун АВ имеет длину 32 см, и конец В движется горизонтально. Определить угол между шатуном АВ и горизонталью и длину ОВ в положении, показанном на рис.

Решение:

По теореме синусов,

, откуда

Значит, В=arcsin0,2431≈ 14 ^o (по таблице синусов )

Следовательно, шатун AB составляет угол 14 ^o с горизонталью.

<ОАВ=180^o-45^o-14^o=121^o

По теореме синусов:

, откуда

Пример 4 Поле имеет форму четырехугольника ABCD, показанного на рис. Определить площадь поля.

Проведенная из В в D диагональ делит четырехугольник на два треугольника.

 Решение:

 Площадь четырехугольника ABCD= площадь треугольника ABD+площадь треугольника BCD, т.е.

 S_ABCD =1/2*(40)*(21)*sin115^o + 1/2*(45)*(23)*sin55^o=804,582 м²