Геометрическая прогрессия.

Геометрическая прогрессия.

Геометрическая прогрессия — последовательность чисел b₁, b₂, b₃,.. (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число q (знаменатель прогрессии), где b₁≠0 , q≠0.

• b₁, b₂=b₁q, b₃=b₂q, ..., b_n=b_n-1q...
• где q знаменатель геометрической прогрессии (шаг),
• b₁, b₂, b₃, ..., b_n,.. - члены геометрической прогрессии

• n-й член геометрической прогрессии b_n определяется по формуле:
  • b_n=b₁q^n-1
• Если b₁ > 0 и q > 1, прогрессия является возрастающей последовательностью,
• если 0 < q < 1, — убывающей последовательностью,
• а при q < 0 — знакопеременной.

Формулы суммы первых n членов геометрической прогрессии:

, что верно при q < 1

или

,что верно при q > 1

Сумма бесконечной геометрической прогрессии:

Если знаменатель геометрической прогрессии q < 1, то сумму первых n членов геометрической прогрессии (см. выше) можно записать как

.

Поскольку q < 1, при увеличении n, q уменьшится.

.

Величина [b₁/(1-q) ] называется суммой бесконечной геометрической прогрессии S_∞, она ограничивает значение суммы бесконечного количества членов прогрессии, т.е.

Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии имеет вид

• , что верно при -1 < q < 1
• Говорят, что бесконечная геометрическая прогрессия сходится, если предел lim S_nпри n→∞ существует и конечен.
• В противном случае прогрессия расходится.